연립일차방정식, 해가 없거나 무수히 많을 때

Algebra 영역에서 거의 매 시험 나오는 유형이 있습니다. 두 일차방정식을 주고 “해가 없도록 하는 상수 값은?” 또는 “해가 무수히 많도록 하려면?”이라고 묻는 문제입니다.

문제를 실제로 풀어서 답을 구하려 들면 시간이 걸립니다. 계수만 비교하면 됩니다.

기준은 계수의 비

두 식을 같은 꼴로 정리했다고 합시다.

세 경우로 나뉩니다.

말로 옮기면 이렇습니다.

• 기울기가 다르면 반드시 한 점에서 만납니다.
• 기울기는 같은데 절편이 다르면 영원히 안 만납니다 → 해가 없다.
• 식 하나가 다른 식의 상수배면 같은 직선입니다 → 해가 무수히 많다.

예시로 확인하기

해가 없는 경우를 묻는 문제

$x$ 계수의 비가 $3 : 6 = 1 : 2$ 이므로, 평행하려면 $y$ 계수도 같은 비여야 합니다. 따라서 $4 : k = 1 : 2$ 에서 $k = 8$.

이때 상수항을 확인합니다. $10 : 25$ 는 $1 : 2$ 가 아니므로 두 직선은 겹치지 않고 평행합니다. 해가 없다는 조건을 만족합니다. 답은 $k = 8$.

해가 무수히 많은 경우를 묻는 문제

$x$ 계수의 비가 $2 : 6 = 1 : 3$ 이고 $y$ 계수도 $-5 : -15 = 1 : 3$ 으로 같습니다. 겹치려면 상수항도 같은 비여야 하므로 $7 : c = 1 : 3$, 즉 $c = 21$.

자주 나오는 함정

정리하지 않고 비교하기. 두 식이 서로 다른 꼴로 주어지는 경우가 많습니다. $y = 2x + 3$ 과 $4x - 2y = 8$ 처럼요. 반드시 같은 꼴로 맞춘 뒤 계수를 봐야 합니다.

부호 빠뜨리기. $-5$ 와 $15$ 의 비를 $1:3$ 으로 착각하기 쉽습니다. 부호까지 포함해서 $-5 : -15 = 1 : 3$ 인지 확인하세요.

“해가 없다”와 “해가 무수히 많다”를 뒤집어 읽기. 문제에서 무엇을 묻는지 먼저 표시해 두고 푸는 습관을 들이면 이 실수가 줄어듭니다. 두 조건은 계수 비까지는 같고 상수항에서만 갈립니다.

Desmos로 확인하는 법

식을 그대로 두 줄 입력하면 그래프가 그려집니다. 두 직선이 나란히 보이면 해가 없는 것이고, 한 줄로 겹쳐 보이면 무수히 많은 것입니다. 상수에 슬라이더를 걸어 두고 값을 움직이면 어느 지점에서 겹치는지 눈으로 확인할 수 있습니다. 개념을 잡을 때 한 번 해 보면 오래 남습니다.

사진: cottonbro studio / Pexels