직선의 기울기, 평행과 수직 조건

일차함수는 SAT 수학에서 가장 자주 등장하는 도구입니다. 그런데 정작 문제에서 묻는 건 대개 기울기 하나입니다.

기울기의 정의

두 점 $(x_1, y_1)$ , $(x_2, y_2)$ 를 지나는 직선의 기울기는

m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1}

세로 변화량을 가로 변화량으로 나눈 값입니다. 영어 자료에서는 rise over run 이라고 부릅니다.

직선을 쓰는 두 가지 꼴

기울기-절편형(Slope-Intercept Form)

y = mx + b

기울기 $m$ 과 $y$ 절편 $b$ 가 그대로 보입니다. 그래프를 그리거나 비교할 때 편합니다.

점-기울기형(Point-Slope Form)

y - y_1 = m(x - x_1)

한 점과 기울기를 알 때 바로 쓸 수 있습니다. SAT에서 “점 $(2, -5)$ 를 지나고 기울기가 3인 직선”을 묻는다면 이 꼴이 가장 빠릅니다. $y + 5 = 3(x - 2)$ 로 끝입니다.

일반형 $Ax + By = C$ 로 주어졌다면 $y$ 에 대해 정리해서 기울기를 뽑거나, 공식으로 바로 구할 수 있습니다.

m = -\frac{A}{B}

평행과 수직

관계	조건
평행	$m_1 = m_2$
수직	$m_1 \cdot m_2 = -1$

수직 조건은 음의 역수로 기억하는 게 실전에서 빠릅니다. 기울기가 $\frac{2}{3}$ 이면 수직인 직선의 기울기는 $-\frac{3}{2}$ 입니다. 분자·분모를 뒤집고 부호를 바꾸면 됩니다.

예외 두 가지. 수평선( $m = 0$ )과 수직선(기울기 정의 안 됨)은 서로 수직이지만 곱이 $-1$ 이 되지 않습니다. 이걸 물어보는 문제가 가끔 나옵니다.

자주 나오는 문제 형태

① 평행하려면 $k$ 는? 두 식의 기울기를 각각 구해 같다고 놓습니다. 앞서 다룬 연립방정식의 해 개수 문제와 사실상 같은 구조입니다 — 평행하다는 건 해가 없다는 뜻이니까요.

② 수직이등분선 구하기 두 점의 중점을 지나고, 두 점을 잇는 직선에 수직인 직선입니다. 중점 공식과 음의 역수를 같이 씁니다.

M = \left( \frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2} \right)

③ 기울기의 의미를 묻는 문장제 ” $y = 3.5x + 20$ 에서 3.5가 뜻하는 것은?” 같은 문제입니다. 기울기는 $x$ 가 1 늘어날 때 $y$ 의 변화량입니다. 단위를 붙여 읽으면 답이 보입니다. $x$ 가 시간(시), $y$ 가 거리(km)라면 3.5는 시속 3.5km입니다.