지수법칙과 유리식, 헷갈리는 지점만 모아서

Advanced Math 영역에서 지수는 이차식 다음으로 자주 나옵니다. 규칙 자체는 짧은데, 어느 방향으로 적용할지에서 갈립니다.

기본 규칙

a^m \cdot a^n = a^{m+n} \qquad \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \qquad (a^m)^n = a^{mn}

(ab)^n = a^n b^n \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^n = \frac{a^n}{b^n}

곱하면 지수는 더하고, 나누면 빼고, 거듭제곱하면 곱합니다. 여기까지는 대개 문제가 없습니다.

a^{-n} = \frac{1}{a^n}

마이너스는 “음수가 된다”는 뜻이 아니라 “분모로 내려간다”는 뜻입니다. $2^{-3} = \frac{1}{8}$ 이지 $-8$ 이 아닙니다. 이걸 부호로 착각하는 실수가 가장 많습니다.

분수 안에 있으면 반대로 올라옵니다.

\frac{1}{a^{-n}} = a^n \qquad \left(\frac{a}{b}\right)^{-n} = \left(\frac{b}{a}\right)^{n}

마지막 것은 알아 두면 계산이 확 줄어듭니다. 분수의 음수 지수는 분자·분모를 뒤집고 지수를 양수로 바꾸면 됩니다.

a^{1/n} = \sqrt[n]{a} \qquad a^{m/n} = \sqrt[n]{a^m} = \left(\sqrt[n]{a}\right)^m

분모가 몇 제곱근인지, 분자가 몇 제곱인지를 알려 줍니다. $8^{2/3}$ 은 8의 세제곱근(=2)을 제곱한 값이니 4입니다.

계산 순서를 바꿔도 결과는 같지만, 근호를 먼저 푸는 쪽이 숫자가 작아져 편합니다. $8^{2/3}$ 을 $\sqrt[3]{64}$ 로 계산하는 것보다 $(\sqrt[3]{8})^2 = 2^2$ 이 빠릅니다.

밑이 0이 아니면 지수가 0일 때 항상 1입니다. 문장제에서 “처음 값”을 물을 때 이걸 씁니다. $y = 500 \cdot (1.03)^t$ 에서 $t = 0$ 을 넣으면 500이 나옵니다.

분모를 통분하는 문제

\frac{1}{x} + \frac{1}{y} = \frac{y + x}{xy}

SAT는 이 결과 꼴을 선택지로 주고 고르라고 하는 경우가 많습니다. 실제로 계산할 필요 없이 통분한 모양만 맞춰 보면 됩니다.

정의되지 않는 값 분모가 0이 되는 $x$ 는 제외됩니다. “다음 중 정의되지 않는 값은?” 이라는 문제는 분모를 0으로 만드는 값을 찾으면 끝입니다.

약분 후 남는 제한

\frac{x^2 - 4}{x - 2} = \frac{(x+2)(x-2)}{x-2} = x + 2 \quad (x \neq 2)

약분해도 $x = 2$ 는 여전히 정의되지 않습니다. 이 단서를 묻는 문제가 나옵니다.

$(a + b)^2$ 를 $a^2 + b^2$ 로 쓰기. 지수법칙은 곱셈에만 성립합니다. 덧셈에는 안 됩니다.

(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2

$\sqrt{a^2} = a$ 로 단정하기. 정확히는 $|a|$ 입니다. $a$ 가 음수일 수 있는 문제에서 함정으로 쓰입니다.

음수 지수를 만나면 무조건 부호를 바꾸기. 위치를 옮기는 것이지 부호를 바꾸는 게 아닙니다.